Les auteurs s'accordent à considérer que le nom s'est formé à partir du prénom d'origine germanique Haimirik ou Heimrich, composé de haimi/heim (« patrie ») et de rikia/erich (« puissant, seigneur, prince, roi »), avec le sens de « seigneur de la patrie » ou « souverain ». Le prénom fut latinisé en Henricus et italianisé en Enrico.

E. De Felice précise que le prénom, sous la forme de tradition ostrogothique et franque Haimeric ou Haimirich, se prolonge dans l'italien Americo. La forme du vieil allemand Haimrich, Hainrich puis Heinrich, répandue par les chancelleries impériales dans la latinisation Henricus, est à la base du type Enrico qui s'affirma en Italie entre les Xe et XIIIe siècles par le prestige des rois et empereurs allemands de ce nom.

De Felice signale qu'Arrigo est une variante principalement toscane, et qu'Enriquez — avec les formes adaptées à la phonétique italienne Enriques et Erriquez — est un emprunt direct au nom espagnol correspondant Enríquez.

De Felice ajoute que le nom est répandu sous le type Arrigo depuis la Toscane jusqu'à l'Italie du Nord-Ouest ; sous le type Enrico et Errico dans le sud de la péninsule — en particulier, avec Errichiello ou Arrichiello, dans la zone de Naples — ; et sous le type Endrigo, Endrici, Endrizzi principalement dans le Trentin.

E. Rossoni s'accorde sur la dérivation germanique et ajoute qu'au XIIIe siècle la noble famille florentine des Arrighi fut à l'origine de la querelle entre guelfes et gibelins. Au XIVe siècle, les Arrighi figurent parmi les familles aisées de Lucignano (zone d'Arezzo). Au XVIe, ils occupent des positions de premier plan à San Miniato (zone de Pise). Il met aussi en avant, au XVIIe, le sculpteur sur bois Alessandro Arrighi, et au XVIIIe l'architecte Antonio Arrighi, tous deux de la zone de Crémone.